麦克斯韦方程组详解（用麦克斯韦方程推导出光速）

麦克斯韦方程组详解（用麦克斯韦方程推导出光速）

true 空中的光速大约是30万km/s，有很多实验可以让我们非常精确地测量这个量，但是有一个相当优雅的方法可以得到相同的数，只需要用到一些数学知识和一些不太复杂的物理学理论。在本文中，我们将看到如何使用麦克斯韦的经典电磁方程来推导光速。

我们从麦克斯韦方程推导出:

1 (a)至(d)

在true 空中，我们可以设置电荷密度= 0，电流密度J = 0。这给出了仅由电场E和磁场B表示的简化方程:

第二条(a)至(d)款

接下来，我们可以将电场彼此解耦，这可以通过将旋度算子应用于公式(2a)和(2b)的两侧来实现:

利用向量微积分的双旋转恒等式，我们可以把电磁方程的左边写成:

其中，由于公式(2c)和(2d)的散度项为零。因此，该等式简化为:

公式3 (a)-(b)

将公式(2b)代入公式(3a ),将公式(2a)代入公式(3b)

公式4 (a)-(b)

仔细观察这些方程，我们注意到它们看起来很像更一般的波动方程:

方程5:标量波动方程

这样我们就可以写:

通过设定光速:

等式6:真实空中的光速

其中0 = 410 (-7) h/m(自由空之间的渗透率)，ε0 = 8.85418782×10(-12)m(-3)kg(-1)s4a 2(自由/[/k)将这些值代入等式(6)中，得到真实空中光速的估计值:

这个结果证明了非常重要的两点。第一，它告诉我们真理空中的麦克斯韦方程可以用波来表示；第二，磁场和电场都以相同的速度传播c .我们也可以通过两边的时域傅立叶变换来研究频率空中的这些方程:

因此得到波数k = ω/c，表达式简化为一组亥姆霍兹方程:

true 空中麦克斯韦方程组的解适用于任何f(r-ct)行波。我们感兴趣的一个特例涉及时谐场，我们可以利用它的解:

其中波矢遵循|k| = ω/c的关系，c.c .表示第一项的共轭复数(这是因为电场和磁场是实数，所以不要把c.c .和光速混淆)。因此，这两个波的幅度之比为:

为了弄清楚这个常数是什么，你需要知道作用在电荷Q上的洛伦兹力:

方程式7:洛伦兹力

假设速度v不变，没有外力使F = 0，我们得到:

因此，取两边的大小会得到这样的结果:

此外，在特殊情况下，θ =/2意味着两个场是垂直的，我们得到:

这意味着真空中的电场和磁场之比必须等于波的传播速度。因此，这两种解决方案可以容易地用相同的场振幅E0重写:

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