tanx的导数是(secx)^2，即正切的导数是割线的平方。我们可以尝试用导数的定义公式，或者借用商的求导公式来求这个导数。
先试试用导数f \'(x)= LIM(h-> 0)((f(x+h)-f(x))/h)的定义公式，因此(tanx)\' = LIM(h-> 0)((tan(x+h)-tanx)/h)= LIM(h-> 0)((tanx+tanh)/(1-tanx tanh)-tanx)/h)= LIM(h-)= LIM(h-> 0)(((tanh+(tanx)2 tanh))/(h(1-tanx tanx这里，应用lim(h->0)(tanh/h)=1，可以得到(tanx)\' = LIM (h->)
以上是利用导数的定义公式求切线的导函数的过程，比较复杂。所以这种方法一般不用来求tanx的导数，而是用商的导数公式来求这个导函数。
商的导数的公式是:当函数u(x)和v(x)都可导且v(x)不等于0时，导数(u(x)/v(x))\' =(u \'(x)v(x)u(x))/(u(x)即分数的导数(即商)，分母的平方为导数的分母，分子的导数乘以分母减去分母的导数再乘以分子为导数。
因为tanx=sinx/cosx符合商的概念，所以tanx的导数就是正弦和余弦的商的导数。分母cosx的平方为导数的分母，分子sinx的导数乘以分母cosx，即cosx的平方，减去分母cosx -sinx的导数乘以分子sinx，即减去-sinx的平方，从而为导数的分子。分子=(cosx)2-(-(sinx)2)=(cosx)2+(sinx)2 = 1。所以tanx的导数等于1/(cosx) 2 = (secx) 2。
显然，利用商的求导公式更容易求出tanx的导数，但不要因此而忽略了第一种方法。在学习数学中，你应该尽力掌握任何方法。就像吃饭一样。不能挑食，这样才能充分吸收数学的营养。
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