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扇形面积公式(弧长公式)
你要学的条件越少,难度越大,这个问题就越难。不掌握方法很难解出答案。这里有两个解决这个问题的方法,供大家参考。
第一个解:托勒密定理
托勒密定理是托勒密对伊巴谷著作中的相关知识进行改进而得到的。我们先来看看托勒密定理的内容。
托勒密定理:在圆的凸内接四边形中,这个四边形的两条对边的乘积之和恰好等于两条对角线的乘积。
比如下图,四边形ABCD是圆O的凸内接四边形,那么AD BC+AB CD = AC BD。
什么是凸四边形?简单来说,这个四边形就是任一边所在的直线的一边。比如下图的四边形ABCD在有四条边的直线的一边,所以是凸四边形。
知道托勒密定理有什么用?
我们先来看原问题中两个直角三角形组成的四边形。很明显,这个四边形的对角是互补的。根据圆不连通四边形的判定定理,对角互补四边形是圆的内接四边形。从题目中的图也可以看出,这个四边形是凸四边形,所以可以直接用托勒密定理求解。
如上图,为了表示方便,分解用字母标注,用AC连接,扇形半径为R,CD = X。
在直角三角形ABD中,由勾股定理可得BE=5。
根据托勒密定理,我们可以得到:
Ad BC+ab CD = AC BD,即:
3r+4x=5r,解为x=r/2①。
在直角三角形BCD中,由勾股定理可得:BD ^ 2 = BC ^ 2+CD ^ 2,即:
25=r^2+x^2②。联立方程① ②,解为r 2 = 20。所以扇形面积是圆面积的四分之一,即20π/4=5π。
第二种解决方法:形状填充法。
用托勒密定理解决这个问题很快,但是很多人不知道托勒密定理,那么没有托勒密定理怎么解决呢?
如下图,延伸AD和BC与e点之间的延长线,因为BC是扇形的半径,A点在扇形的圆弧上,角度BAD是直角,BE是扇形所在圆的直径。这样就构造了一个大的直角三角形ABE。
设扇形半径为r,则BE=2r,AE = 3+r .在直角三角形ABE中,由勾股定理:
Be 2 = AB 2+AE 2,代入数据:
(2r)2 = 4 ^ 2+(3+r)2,解为:r=2√5。
所以扇形面积是π r 2 ÷ 4 = π× (2 √ 5) 2 ÷ 4 = 5π。
奥赛的这道几何题还是挺难的,但是解题的方法不是唯一的。即使你没有学过托勒密定理,也仍然可以用形状补的方法用勾股定理求解。而求解补码的难点在于如何快速准确地做出辅助线。做了辅助线后,求解难度降低了很多。
这个问题到此为止。
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