欧拉拓扑（小学必背的70古诗词）

La Topology(小学必背的古诗词70首)

数学家(尤其是研究空)之间关系的拓扑学家)是怎么看待孔的？

在日常语言中，“洞”有几种不同的意思。一个是地面上的洞，另一个是物体上的开口，如穿山隧道或纸上的洞。还有完全封闭空的房间，比如奶酪里的气穴。拓扑学家会说，除了第一个例子，所有例子都是洞。但是为了理解数学家为什么以及为什么关心洞，我们必须回顾拓扑学的历史，从它与几何学的不同开始。

在几何学中，圆形、多面体等形状都是刚性物体，它们的属性包括长度、角度和面积。但在拓扑学中，形状是有弹性的，就像橡胶做的一样。拓扑学家可以随意拉伸和扭曲形状。允许剪切和粘合。球体和立方体是完全不同的几何对象，但对于拓扑学家来说，它们是不可区分的。如果你想从数学上证明t恤和裤子是不同的，你应该去找拓扑学家，而不是几何学家。是的，他们有不同数量的洞！

18世纪，莱昂哈德·欧拉开始研究形状的拓扑学。你可能会想，到那时数学家们应该已经知道了几乎所有关于多面体的知识。但是在1750年，欧拉发现了我认为最伟大的定理之一:

如果一个多面体有F个多边形面，E条边和V个顶点，那么V-E+F = 2。

例如，一个足球有20个白色六边形和12个黑色五边形，总共有32个面、90条边和60个顶点。60 - 90 + 32 = 2。这个基本观察与数学的许多领域都有很深的联系，而且非常简单，可以教给幼儿园的孩子。但它躲过了欧几里德、阿基米德、开普勒等伟大的几何学家，因为它的结果不取决于几何，而取决于拓扑学。

假设欧拉多面体是凸的，这意味着连接任意两点的线段完全在多面体内部。不久之后，学者们发现了欧拉公式的非凸例外。例如，1813年，瑞士数学家西蒙·鲁维尔(Simon Ruville)认识到，如果我们在多面体上打孔，使其更像一个甜甜圈，并改变其拓扑结构，那么V-E+F = 0。

有意思的是，虽然欧拉和鲁维尔把他们的多面体想象成实心的，但欧拉公式只用零维顶点、一维边和二维面来计算。所以欧拉数(V-E+F)实际上是从多面体的二维面推导出来的。我们可以把这些形状想象成有空颗心的贝壳。

另外，重要的是物体的拓扑结构。如果我们用橡皮泥做一个多面体，用记号笔在边上做个记号，然后搓成一个球，面和边都会弯曲，但数字不变。对于任意形状的球面，其欧拉数为2；对于类似甜甜圈的环面，其欧拉数为0；对于平面圆盘，欧拉数为1，以此类推。每个曲面都有自己的欧拉数。欧拉公式的这种拓扑理解最早是在1861年约翰·林克写的一篇文章中提出的。

欧拉数V-E+F对于球面是2，对于圆环面是0，对于圆盘是1，对于圆环面是-2。

大约在同一时间，波恩哈德·黎曼在他对复数的研究中发现，计算洞的一种方法是观察一个物体在不被分割的情况下可以被切割多少次。对于有界曲面，如带有两个有界圆的吸管，每个切口必须在边界上开始和结束。所以，根据黎曼的说法，因为一根稻草只能割一次，所以它只有一个洞。如果曲面没有边界，比如空中心的圆环体，那么它可以被切割两次，所以根据这个定义，它有两个洞。

一根吸管可以割一次不开，一个空心的戒指可以割两次。

愤怒的庞加莱是另一位拓扑学大师。他在1895年发表了一篇开创性的文章《拓扑学》。在这部以及随后的五部续集中，潘加莱种下了无数拓扑种子，这些种子将在接下来的几十年里生长、开花、结果。其中值得注意的是庞加莱提出的“同调”概念，将黎曼的思想提升到更高维度。通过同源，庞加莱旨在覆盖一切，从吸管到活页纸上的黎曼一维圆孔，到奶酪上的二维空孔，甚至更高维度。这些孔的数量称为物体的贝蒂数。

同源词的现代定义相当复杂，但它大致是一种将特定的数学对象与每种形状关联起来的方法。我们可以从这个物体中提取更简单的形状信息，比如它的贝蒂数或者欧拉数。

要了解什么是同源数和贝蒂数，我们先来关注一下一维。我们将从表面上的“环”开始。规则很简单。这些环可以自由滑动，但不能离开表面。在某些表面上，如圆盘或球体，任何环都可以收缩到一点。这样空有同源性。而其他曲面，如吸管或环面，孔周围都有环，它们具有非同源性。

戒指告诉我们如何想象贝蒂的号码。我们可以在环面上画出无限多的环。这个环有一个优雅的数学结构。让我们称一个通过中心孔并环绕管道A的循环(如下图所示)。因为一个循环可以绕管道转一次，两次或者任意次数，而且方向很重要，所以我们可以用A，2a，-a等等来表示这些环。但并不是每一个环都是a的倍数，比如沿着圆环体的长圆周围绕中心孔的环可以称为“B”(下图)。此时，环面上的任意一个环都可以由A和B组成，这就意味着该环在一维上的Betty数为2，与黎曼割数相同。

圆环面上有无限多种不同的环。有向环A、B和C都不同，但C可以变形以获得环A和环B的并集。

如果环C等价于环A和环B的组合，我们写C = A+B。同系群结构是艾米·诺特在20世纪20年代发现的。多亏了诺特的观察，数学家现在可以用代数来理解拓扑学。例如，我们可以从数学上确定吸管、t恤和裤子是拓扑上不同的对象。因为它们有不同数量的孔。

最后，拓扑学家如何计算孔洞？用贝蒂号。零贝蒂数(B0)是一个特例。对于单个连接的形状，b0 = 1。正如我们刚刚看到的，第一个Betty数(B1)是一个形状(就像一个圆围绕着一个圆柱形的吸管)上的圆孔的数量。庞加莱向我们展示了如何在更高维度上计算同源性和相关的贝蒂数。第二个Betty数(b_2)是空孔的个数(类似于球体、圆环体和奶酪中的那些)。更一般的，b_n计算N维洞的个数。

虽然数学家对同调有了基本的认识，但代数拓扑仍然是一个活跃的研究领域，进一步将代数与拓扑结合起来。研究人员也在向其他方向扩展，开发计算数字所代表的形状的同质性所需的理论和算法，并构建工具来识别大型数据集(通常位于高维空)的潜在形状。

和很多纯数学领域一样，拓扑学已经证明了它在现实世界中的价值，而不仅仅是解决一根稻草有几个洞的问题。

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