纯循环小数（循环小数化分数的规律）

循环小数(循环小数的规则)

一、概念描述

现代数学:循环小数一般有两种定义:

①小数点后某个位置重复出现的一个或一段数字的小数无限小数称为循环小数或无限循环小数:重复出现的一个或一段数字称为循环段。循环小数的缩写是省略第一个循环段后的所有数字，在第一个循环段的前两位和后两位数字上面加一个点。比如3.258258258...= 3.258(在2和8上加一个点)。

循环小数分为两类:混合循环小数和纯循环小数。

混合小数:循环节不是从小数部分的第一个数字开始的循环小数，如3。258(5和8加一个点)。

纯循环小数:从循环部分小数部分的第一位开始的循环小数，如3.258(2和8加一个点)。

②公理化定义:

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对于无限小数0.a1a2…an。…，如果能找到两个正整数s≥0且t>0，那么as+I = as+kt+I(I = 1，2，…，t；K=l，2，...)是成立的，这个无限小数被称为循环小数，并且它被记录为0。A1A2...ass+1...s+t .对于一个循环小数，满足上述公式的s和t值不计其数。如果取最小的s和t值，则为+1as+2...as+t是这个循环小数的循环部分，t是循环部分的长度。如果最小值s=0，那么这个循环小数叫做纯循环小数；如果最小的s>0，对应的循环小数称为混合循环小数，部分a1a2...因为从小数点到循环的部分称为非循环部分。任何循环小数都必须转换成分数。

从数学的角度来说，第一个定义很容易理解，小学数学教材的表述也与之类似。第二种定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

《小学数学》:2005年人民教育出版社出版的五年级教材第二册第28页明确指出:一个数的小数部分，从某一位置开始，一个数或几个数依次反复出现，这样的小数称为循环小数。

这与现代数学中“循环小数”的第一个定义基本一致。考虑到学生的认知，小学数学教材没有提到小数，而是默认为小数无限小数。

二.概念解释

循环小数是在实际测量和生产生活中产生的。测量和共享时，经常会出现以下情况:

在除法中，两个数被彼此除。如果不能得到整数商，通常有两种情况:一种是得到有限小数，另一种是得到无限小数。在成绩唯一的前提下，为了保证除法运算的顺利通过，确实需要引入一个新的数，于是分数就产生了。

循环小数实际上是有理数的十进制表示。比如简单的三分之一、七分之二等分数在现实生活中有时需要用小数来表示，然后就会出现循环小数。

有时，如有必要，您可以将循环小数简化为分数。有两种情况:

纯循环小数的小数部分可以转换成分数:分子是由循环节表示的数；分母的位数都是9，9的个数等于循环段的位数。

混合循环小数的小数部分可以转化为分数:分子是第二个循环段前小数部分的个数与小数部分中非循环部分的个数之差；分母的前几个数字都是9，9之后的数字都是0，9的个数等于一个循环段的位数，零的个数等于非循环部分的位数。

三.教学建议

循环小数是一个学生很难理解和表达的概念，尤其是一些表达其含义的抽象表达，如“循环”和“无穷”。因此，教师应该在教学中通过创设情境来帮助学生理解概念。

(1)循环小数的意义可以通过直观体验突破困难。

黄爱华在教循环小数的时候，介绍了一个故事“从前，有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚。老和尚对小和尚说:“从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚，老和尚对小和尚说...“学生感受和体验到循环小数的本质特征，如“无穷”、“有序”、“不断”、“重复”，将抽象的数学概念具体化。同时，老师在开始上课时采用直观形象的方法排除障碍，分散了难点，为后面学习循环小数的意义铺平了道路。

(2)循环小数的含义通过除法计算不断完善。

故事介绍完后，黄老师呈现了两条信息:“乌龟6分钟爬70米，蜗牛11分钟爬9.4米”，并让学生独立计算乌龟和蜗牛的速度。(70÷6=11.66……,9.4÷11=0.85454……)

有同学过了一段时间就不写了，也有同学怀疑是老师做题出错了——他们发现计算永远做不完，这正是同学们通过计算体会到的循环小数的无穷性。

黄老师于是引起学生们的思考:“为什么不继续去掉呢？你怎么了，发现了什么规律？”为了引导学生通过观察垂直发现规律，让学生在计算实践中发现问题并尝试解决，通过讨论和交流理解概念。在计算过程中，让学生亲身体验循环小数的生成过程，可以帮助学生加深对循环小数的理解，充分感受到循环小数是无限的。在这一点上，黄老师要求学生说一些关于循环小数的事情。有了前面的直观体验，通过计算的实践，学生可以通过交流不断完善循环小数的含义。

然后，老师和学生讨论“这两个问题的商如何表达？”由此，可以得到循环小数的一般表示法。

一般来说，学生表达自己的方式可能有几种。教师可以结合学生的四个答案讨论循环小数的记法。

70 ÷ 6 = 11.6 ................................................................................................................................................................

70 ÷ 6 = 11.66666 ............................................................................................................................................................

70÷6 = 11.6(6加一个点；循环小数的简单表示法)

70 ÷ 6 = 11.66 ...............................................................................................................................................................

这是学生主动寻找表格中非循环小数的解决方案的一种方式。这个过程突出了知识的形成过程，揭示了速记背后的真相，使学生掌握了速记的方法。

四.推荐阅读

(1)《数学辞海，第一卷》(邱光明，山西教育出版社，2002)

在这本书的第29页，有对“循环小数”及其相关概念的详细解释。

(2)听名师讲座:数学卷(雷凌，广西教育出版社，2004)

这本书的第42-43页包含了黄爱华关于循环小数的教学片段和评论。

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